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    【题目】如图，已知长方形中，为的中点，将 沿折起，使得平面平面．

    （1）求证：；

    （2）若点是线段上的一动点，问点在何位置时，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为1：3？

    【答案】（1）详见解析（2）为的中点

    【解析】

    试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得证.其中线线垂直的寻找与论证，一般从两个方面出发，一是平几知识，如本题中利用长方形长与宽的关系得，另一方面，利用立几中线面垂直关系进行转化，如由面面垂直转化为线面垂直，再转化为线线垂直（2）研究体积关系，一般利用等体积法进行转换：，所以，因此为的中点

    试题解析：（1）证明：∵长方形中，为的中点，∴，∴，

    ∵平面平面，平面平面平面，

    ∴平面，∵平面，∴

    （2）为的中点，

    当为的中点时，因为，

    所以

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    （1）若设备升级后生产这批产品的利润不低于原来生产该批产品的利润，求的取值范围；

    （2）若生产这批产品的利润始终不高于设备升级后生产这批产品的利润，求的最大值．

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    【题目】设函数，已知在处的切线相同．

    （1）求的值及切线的方程；

    （2）设函数，若存在实数使得关于的不等式对上的任意实数恒成立，求的最小值及对应的的解析式．

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    【题目】在平面直角坐标系中，点，直线：，设圆的半径为1，圆心在上.

    （1）若圆心也在直线上，过点作圆的切线，求切线方程；

    （2）若圆上存在点，使，求圆心的横坐标的取值范围.

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    【题目】某加工厂需定期购买原材料，已知每公斤原材料的价格为1.5元，每次购买原材料需支付运费600元，每公斤原材料每天的保管费用为0.03元，该厂每天需要消耗原材料400公斤，每次购买的原材料当天即开始使用（即有400公斤不需要保管）.

    （Ⅰ）设该厂每x天购买一次原材料，试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式；

    （Ⅱ）求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少，并求出这个最少（小）值；

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    【题目】在一个盒子里装有6张卡片，上面分别写着如下定义域为的函数：

    ，，，，，．

    （1）现在从盒子中任意取两张卡片，记事件为“这两张卡片上函数相加，所得新函数是奇函数”，求事件的概率；

    （2）从盒中不放回逐一抽取卡片，若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取，否则继续进行，记停止时抽取次数为，写出的分布列，并求其数学期望．

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    【题目】如图，在四棱锥中， ，底面是矩形， ， ， 分别是， 的中点.

    （1）求证：；

    （2）已知点是的中点，点是上一动点，当为何值时，平面？

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