【题目】在直角坐标系中,以原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程并指出其形状;
(2)设是曲线
上的动点,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)直接根据极坐标和直角坐标方程互化公式求解得到其直角坐标方程,然后,再将其化为标准方程即可判断其形状;(2)依据曲线的参数方程,可以设该点
的三角形式 ,然后 ,借助于三角函数的有界性求最值.
试题解析:(1)由ρ2-4ρcos
+7=0可得ρ2-4ρcosθ-4ρsinθ+7=0,化为直角坐标方程得x2+y2-4x-4y+7=0,即(x-2)2+(y-2)2=1,它表示以(2,2)为圆心,以1为半径的圆.
(2)由题意可设x=2+cosθ,y=2+sinθ,则t=(x+1)(y+1)=(3+cosθ)(3+sinθ)=9+3(sinθ+cosθ)+sinθcosθ.
令sinθ+cosθ=m,平方可得1+2sinθcosθ=m2,
所以sinθcosθ=,t=9+3m+
=
m2+3m+
(-
≤m≤
).由二次函数的图象可知t的取值范围为
.
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【题目】设函数,已知
在
处的切线
相同.
(1)求的值及切线
的方程;
(2)设函数,若存在实数
使得关于
的不等式
对
上的任意实数
恒成立,求
的最小值及对应的
的解析式.
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【题目】某加工厂需定期购买原材料,已知每公斤原材料的价格为1.5元,每次购买原材料需支付运费600元,每公斤原材料每天的保管费用为0.03元,该厂每天需要消耗原材料400公斤,每次购买的原材料当天即开始使用(即有400公斤不需要保管).
(Ⅰ)设该厂每x天购买一次原材料,试写出每次购买的原材料在x天内总的保管费用y1关于x的函数关系式;
(Ⅱ)求该厂多少天购买一次原材料才能使平均每天支付的总费用y最少,并求出这个最少(小)值;
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【题目】在一个盒子里装有6张卡片,上面分别写着如下定义域为的函数:
,
,
,
,
,
.
(1)现在从盒子中任意取两张卡片,记事件为“这两张卡片上函数相加,所得新函数是奇函数”,求事件
的概率;
(2)从盒中不放回逐一抽取卡片,若取到一张卡片上的函数是偶函数则停止抽取,否则继续进行,记停止时抽取次数为,写出
的分布列,并求其数学期望
.
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【题目】若<<0,则下列不等式:①<;②|a|+b>0;③a->b-;④lna2>lnb2中,正确的是( )
(A)①④ (B)②③ (C)①③ (D)②④
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【题目】已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是
.
(1)求的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为
.
(i)记“”为事件
,求事件
的概率;
(ii)在区间内任取2个实数
,求事件“
恒成立”的概率.
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