【题目】已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干,其中标号为0的小球1个,标号为1的小球1个,标号为2的小球个.若从袋子中随机抽取1个小球,取到标号为2的小球的概率是
.
(1)求的值;
(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球,记第一次取出的小球标号为,第二次取出的小球标号为
.
(i)记“”为事件
,求事件
的概率;
(ii)在区间内任取2个实数
,求事件“
恒成立”的概率.
【答案】(1);(2)(i)
;(ii)
.
【解析】
试题分析:(1)从个小球中随机抽取
个服从古典概型概率公式,根据概率公式有
,可以求出
;(2)(i)首先写出所有基本事件
,共
种,然后从中找出满足
的基本事件,即事件
所包含的个数,就可以求出事件
的概率;(ii)本问考查几何概型概率问题,在区间
内任取
个实数
,所有的
构成以
为边长的正方形,事件“
恒成立”等价于
恒成立,在正方形内,画图表示出相应的区域,然后根据几何概型概率公式就可以求解.
试题解析:(1)依题意,得
;
(2)(i)记标号为0的小球为,标号为1的小球为
,标号为2的小球为
,则取出2个小球的可能情况有:
,共12种,其中满足“
”的有4种:
,
所以所求概率为;
(ii)记“恒成立”为事件
,
则事件等价于“
恒成立”,
可以看成平面中的点的坐标,则全部结果所构成的区域为
,
而事件构成区域
,
所以所求的概率为.
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【题目】在直角坐标系中,以原点
为极点,以
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线
的极坐标方程为
.
(1)求曲线的直角坐标方程并指出其形状;
(2)设是曲线
上的动点,求
的取值范围.
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【题目】有两枚大小相同、质地均匀的正四面体玩具,每个玩具的各个面上上分别写着数字1,2,3,5,同时投掷这两枚玩具一次,记为两个朝下的面上的数字之和.
(1)求事件“不小于6”的概率;
(2)“为奇数”的概率和“
为偶数”的概率是不是相等?证明你作出的结论.
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【题目】现有一个质地均匀的正四面体骰子,每个面上分别标有数字1、2、3、4,将这个骰子连续投掷两次,朝下一面的数字分别记为,试计算下列事件的概率:
(1)事件;
(2)事件:函数
在区间
上为增函数.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知点
的极坐标为
,曲线
的参数方程为
(
为参数).
(1)直线过
且与曲线
相切,求直线
的极坐标方程;
(2)点与点
关于
轴对称,求曲线
上的点到点
的距离的取值范围.
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【题目】如图,在三棱柱中,侧面
是矩形,
,
,
,且
.
(1)求证:平面平面
;
(2)设是
的中点,判断并证明在线段
上是否存在点
,使
平面
,若存在,求点
到平面
的距离.
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【题目】某单位有、
、
三个工作点,需要建立一个公共无线网络发射点
,使得发射点到三个工作点的距离相等.已知这三个工作点之间的距离分别为
,
,
.假定
、
、
、
四点在同一平面内.
(Ⅰ)求的大小;
(Ⅱ)求点到直线
的距离.
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