[题目]已知函数.(1)当时.求函数的最大值,(2)函数与轴交于两点且.证明:. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的最大值；

（2）函数与轴交于两点且，证明：.

【答案】（1）函数的最大值为-1;（2）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）当时，求函数的导数，并求定义域内的极值点，判断极值点两侧的单调性，得到函数的最大值；（2）利用点差法得到，再求函数的导数，并且代入求，初步化简后采用分析法证明，当证明到，根据，，经过换元设，转化为关于的函数，利用导数证明函的单调性，求函数的最小值，得到不等式的证明.

试题解析：（1）当时，，求导得，很据定义域，容易得到在处取得最大值，得到函数的最大值为-1.

（2）根据条件得到，，

两式相减得，

得

因为

得

因为，所以，要证

即证

即证，即证

设，原式即证，即证

构造求导很容易发现为负，单调减，所以得证

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