Question

14．若在区间[1，2]上存在实数x使2^x（2x+a）＜1成立，则a的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{2}$）．

Answer 1

分析 2^x（2x+a）＜1可化为a＜2^-x-2x，则在区间[1，2]上存在实数x使2^x（2x+a）＜1成立，等价于a＜（2^-x-2x）_max，利用函数的单调性可求最值．

解答 解：2^x（2x+a）＜1可化为a＜2^-x-2x，
则在区间[1，2]上存在实数x使2^x（2x+a）＜1成立，
等价于a＜（2^-x-2x）_max，
而2^-x-2x在[1，2]上单调递减，
∴2^-x-2x的最大值为2^-1-2=-$\frac{3}{2}$，
∴a＜-$\frac{3}{2}$，
故a的取值范围是（-∞，-$\frac{3}{2}$），
故答案为：（-∞，-$\frac{3}{2}$）．

点评 该题考查函数恒成立问题，考查转化思想，注意“存在”与“恒成立”问题的区别与联系是解题关键．