Question

5．如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=$\sqrt{3}$，BC=4，AA₁=3，M为棱AA₁上的点，且AB₁∩BM=P，AC₁∩CM=Q．
（Ⅰ）若AM=$\frac{1}{3}$AA₁，求PQ的长；
（Ⅱ）若AM=$\frac{1}{2}$AA₁，求两面角A-PQ-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过△AMP∽△B₁BP、△AMQ∽△C₁CQ即得结论；
（Ⅱ）易得APB即为二面角A-PQ-B的平面角，通过已知条件计算即可．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，易得△AMP∽△B₁BP，△AMQ∽△C₁CQ，
又∵AM=$\frac{1}{3}$AA₁，∴$AM=\frac{1}{3}B{B}_{1}=\frac{1}{3}C{C}_{1}$，
∴$\frac{MP}{PB}=\frac{AM}{B{B}_{1}}=\frac{1}{3}$，$\frac{MQ}{QC}=\frac{AM}{C{C}_{1}}=\frac{1}{3}$，
即△MPQ∽△MCB，
∴PQ∥BC，∴$\frac{PQ}{BC}=\frac{MQ}{MQ+QC}=\frac{1}{4}$，
又∵BC=4，
∴PQ=$\frac{1}{4}BC=\frac{1}{4}×4=1$；
（Ⅱ）∵A₁A⊥BC，AB⊥BC，∴BC⊥平面ABB₁A₁，
 又∵PQ∥BC，∴PQ⊥平面ABB₁A₁，
∴PQ⊥PA，PQ⊥PB，∴∠APB即为二面角A-PQ-B的平面角，
∵AB=$\sqrt{3}$，AA₁=3，∴$A{B}_{1}=\sqrt{A{B}^{2}+B{{B}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{3+{3}^{2}}$=$2\sqrt{3}$，
又∵AM=$\frac{1}{2}$AA₁，∴BM=$\sqrt{A{M}^{2}+A{B}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{3}{2}）^{2}+3}$=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∵△AMP∽△B₁BP，
∴AP=$\frac{1}{3}A{B}_{1}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，BP=$\frac{2}{3}BM$=$\frac{\sqrt{21}}{3}$，
∴cos∠APB=$\frac{\frac{4}{3}+\frac{7}{3}-3}{2•\frac{2\sqrt{3}}{3}•\frac{\sqrt{21}}{3}}$=$\frac{\sqrt{7}}{14}$．

点评 本题考查二面角，相似三角形的性质，注意解题方法的积累，属于中档题．