Question

已知函数f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）将函数y=f（x）的图象上各点的横坐标缩短到原来的

1

2

，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数y=g（x）在区间[0，

π

16

]上的最小值．

Answer 1

分析：（1）本小题主要考查综合运用三角函数公式、三角函数的性质，进行运算、变形、转换和求解的能力．
（2）要求三角函数的有关性质的问题，题目都要变形到y=Asin（ωx+φ）的形式，变形时利用诱导公式和二倍角公式逆用．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=sin（π-ωx）cosωx+cos²ωx，
∴f（x）=sinωxcosωx+

1+cos2ωx

2

=

1

2

sin2ωx+

1

2

cos2ωx+

1

2

=

2

2

sin（2ωx+

π

4

）+

1

2

由于ω＞0，依题意得

2π

2ω

=π，
所以ω=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=

2

2

sin（2x+

π

4

）+

1

2

，
∴g（x）=f（2x）=

2

2

sin（4x+

π

4

）+

1

2

∵0≤x≤

π

16

时，

π

4

≤4x+

π

4

≤

π

2

，
∴

2

2

≤sin（4x+

π

4

）≤1，
∴1≤g（x）≤

1+ 2

2

，
g（x）在此区间内的最小值为1．

点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式（1）化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出．