Question

已知正三角形OEF的三个顶点（O为坐标原点）都在抛物线上x²=y，圆D为三角形OEF的外接圆．圆C的方程为（x-5cosα）²+（y-5sinα-2）²=1（a∈R），过圆C上任意一点M作圆D的两条切线MA，MB，切点分别为A，B，设d=|MA|．
（Ⅰ）求圆D的方程；
（Ⅱ）试用d表示

MA

•

MB

，并求

MA

•

MB

的最小值．

Answer 1

考点：圆的标准方程,平面向量数量积的运算

专题：直线与圆

分析：（Ⅰ）设E（x1，x12），F（x2，x22），x₁＞x₂，由已知得E（

3

，3），F（-

3

，3），由此能求出圆D的方程．
（Ⅱ）圆心C（5cosα，5sinα+2），从而|DC|=5，由圆的向何性质，得4≤|DM|≤6，2

3

≤d≤4

2

，由此能求出

MA

•

MB

取得最小值为6．

解答： 解：（Ⅰ）设E（x1，x12），F（x2，x22），x₁＞x₂，
∵△OEF是正三角形，∴

3

2

×

(x1)2+(x12)2

=x12，
解得x1=

3

，则E（

3

，3），
同理，F（-

3

，3），
∴外接圆的圆心为（0，2），半径为2，
故圆D的方程为x²+（y-2）²=4．
（Ⅱ）圆心C（5cosα，5sinα+2），
∴|DC|=5，
由圆的几何性质，得：
|DC|-1≤|DM|≤|DC|+1，即4≤|DM|≤6，
又|DA|=2，在Rt△DAM中，由勾股定理，得：
d=|MA|=

|DM|2-|DA|2

=

|DM|2-4

，
∴2

3

≤d≤4

2

，
设∠DMA=θ，则tanθ=

|DA|

|MA|

=

2

d

，
∴cos∠AMB=cos2θ=cos²θ-sin²θ
=

cos2θ-sin2θ

cos2θ+sin2θ

=

1-tan2θ

1+tan2θ

=

d2-4

d2+4

，
∴

MA

•

MB

=|

MA

|•|

MB

|cos∠AMB=d2•

d2-4

d2+4

，
令t=d²+4，则t∈[16，36]，
∴

MA

•

MB

=

(t-4)(t-8)

t

=t+

32

t

-12，
令f（t）=t+

32

t

-12，t∈[16，36]，
则f′（t）=1-

32

t2

=

t2-32

t2

＞0，
∴f（t）在[16，36]上单调递增，
当t=d²+4=16，即d=2

3

时，

MA

•

MB

取得最小值为6．

点评：本题考查圆D的方程的求法，考查

MA

•

MB

的最小值的求法，是中档题，解题时要注意圆的性质的合理运用．