Question

8．某种产品的宣传费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：

x	2	4	5	6	8
y	30	40	60	50	70

（I）求线性回归方程；
（II）试预测宣传费支出为10万元时，销售额多大？
（参考数值$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i=1}^{n}{{x}_{i}}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\sum_{i=1}^{5}$x_iy_i=1380，$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=145）

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意求出$\overline{x}$，$\overline{y}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$，$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$，代入公式求值，从而得到回归直线方程；
（Ⅱ）代入x=10即可．

解答 解：（Ⅰ）由题中数据计算得：$\overline{x}$=$\frac{1}{5}$（2+4+5+6+8）=5；
$\overline{y}$=$\frac{1}{5}$（30+40+50+60+70）=50；
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}^{2}$=2²+4²+5²+6²+8²=145；
$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}{y}_{i}$=1380；
$\sum_{i=1}^{5}$x_i²=145
∴$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y}}}{{\sum_{i=1}^n{{x_i}^2-n{{\overline x}^2}}}}$=$\frac{1380-5×5×50}{145-5×{5}^{2}}=65$
$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat{b}$$\overline{x}$=50-65×5=175；
故回归直线方程为$\widehat{y}$=65x+175．
（Ⅱ）x=10时，预报y的值为y=65×10+175=．
∴预测宣传费支出为10万元时，销售额为825万元．

点评 本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．