Question

已知函数f(x)＝ln x＋mx²(m∈R)．

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若A，B是函数f(x)图像上不同的两点，且直线AB的斜率恒大于1，求实数m的取值范围．

Answer 1

解：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝＋2mx＝.

当m≥0时，f′(x)>0，f(x)在(0，＋∞)上单调递增．

当m<0时，由f′(x)＝0得x＝.

当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递增；

当x∈时，f′(x)<0，f(x)在上单调递减．

综上所述，当m≥0时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；

当m<0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减．

(2)依题意，设A(a，f(a))，B(b，f(b))，不妨设a>b>0，

则k_AB＝>1恒成立，

即f(a)－f(b)>a－b恒成立，

即f(a)－a>f(b)－b恒成立，

令g(x)＝f(x)－x＝ln x＋mx²－x，

则g(x)在(0，＋∞)上为增函数，

所以g′(x)＝＋2mx－1＝≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，

所以2mx²－x＋1≥0对x∈(0，＋∞)恒成立，

即2m≥－＋＝－²＋对x∈(0，＋∞)恒成立，因此m≥.

故实数m的取值范围为.