Question

已知函数f(x)=2ax2+bx+c
（1）已知函数f（x）经过（0，8），（-1，1），（1，16）三点，求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的定义域和值域；
（3）确定函数的单调区间．

Answer 1

（1）∵f(x)=2ax2+bx+c过（0，8），（-1，1），（1，16）三点，
∴

8=2c 16=2a+b+c 1=2a-b+c

，即：

c=log28=3 a+b+c=log216=4 a-b+c=log21=0

，
解方程组得：

a=-1 b=2 c=3

，
∴f(x)=2-x2+2x+3．
（2）∵f(x)=2-x2+2x+3对于任意x∈R都有意义，
∴f(x)=2-x2+2x+3的定义域为R．
设u=-x²+2x+3，则f（x）=2^u，
当x∈R时，由二次函数性质知u∈（-∞，4]，
所以f（x）=2^u，u∈（-∞，4]，
根据f（x）=2^u为指函数性质可知：f（x）∈（-∞，16]．
（3）由（2）知：设u=-x²+2x+3，则f（x）=2^u，u∈（-∞，4]
①当x∈（-∞，1]时，随x增大，u增大，
从指数函数性质知：随u增大，f（x）=2^u也增大，
所以f(x)=2-x2+2x+3在（-∞，1]上为增函数．
②当x∈[1，+∞）时，随x增大，u减小，
从指数函数性质知：随u减小，f（x）=2^u也减小，
所以f(x)=2-x2+2x+3在（-∞，1]上为减函数．