Question

（（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a>0，b>0）经过点A（，），且点F（0，－1）为其一个焦点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A₁，A₂，不在y轴上的动点P在直线y＝b²上运动，直线PA₁，PA₂分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．

Answer 1

解：（Ⅰ）根据题意可得 
可解得
∴椭圆的方程为┈┈┈┈┈4分
（Ⅱ）不妨设，
为直线上一点，，
直线方程为，直线方程为
点，的坐标满足方程组            可得
点，的坐标满足方程组   可得
由于椭圆关于轴对称，当动点在直线上运动时，直线通过的定点必在轴上，
当时，直线的方程为，令，得可猜测定点的坐标为，并记这个定点为
则直线的斜率
直线的斜率
∴，即三点共线，故直线通过一个定点，
又∵，是椭圆的焦点，
∴周长=。┈┈┈┈┈12分

略