Question

如图，边长为2的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于点A′．
（1）求证：A′D⊥EF；
（2）求A′到面EFD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据折叠前AD⊥AE，CD⊥CF，可得折叠后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，再由纡面垂直的判定定理可得A′D⊥平面A′EF，再由线面垂直的性质可得A′D⊥EF．
（2）利用割补法求出四边形BEDF的面积，及三角形BEF和三角形DEF的面积，求出三棱锥A′DEF的体积后，利用等积法，可求出点A′到平面BEDF的距离．

解答： 解（1）在正方形ABCD中，有AD⊥AE，CD⊥CF…（1分）
则A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，…（2分）
又A′E∩A′F=A′，A′E，A′F?平面A′EF…（3分）
∴A′D⊥平面A′EF…（4分）
而EF?平面A′EF，
∴A′D⊥EF．…（5分）
（2）∵正方形ABCD的边长为2，点E是AB的中点，点F是BC的中点
∴S四边形BEDF=

1

2

S正方形ABCD=

1

2

×22=2，…（6分）
∵S_△BEF=

1

2

×1×1=

1

2

，…（7分）
∴S_△DEF=2-

1

2

=

3

2

，…（8分）
在Rt△BEF中，BE=BF=1，∴EF=

2

，
而A′E=A′F=1，
∴A′E²+A′F²=EF²…（9分）
∴S△A′EF=

1

2

×1×1=

1

2

，…（10分）
由（1）得A′D⊥平面A′EF，且A′D=2，
∴VD-A′EF=

1

3

•S△A′EF•A′D=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

，…（11分）
设点A'到平面BEDF的距离为h，
则VA′-DEF=

1

3

•S△DEF•h=

1

3

•

3

2

•h=

1

3

，…（12分）
解得h=

2

3

，…（13分）
∴点A′到平面BEDF的距离为

2

3

．…（14分

点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的性质，点到平面的距离，其中（1）的关键是弄清折叠前后不变的线线垂直关系，（2）的关键是求出三棱锥A'DEF的体积．