Question

一个四棱锥S-ABCD的底面是边长为a的正方形，侧面展开图如图所示．SC为四棱锥中最长的侧棱，点E为AB的中点
（1）画出四棱锥S-ABCD的示意图，求二面角E-SC-D的大小；
（2）求点D到平面SEC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,二面角的平面角及求法

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作出四棱锥S-ABCD的示意图，分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，由已知条件推导出面SEC⊥面SCD，由此得到二面角E-SC-D的大小为90°．
（2）作DH⊥SC于H，则DH之长即为点D到面SEC的距离，由此能求出点D到面SEC的距离．

解答： （12分）
解：（1）四棱锥S-ABCD的示意图如图所示，…（2分）
分别取SC、SD的中点G、F，连GE、GF、FA，
则GF∥EA，GF=EA，∴AF∥EG，
∵SA⊥AB，SA⊥AD，且AB、AD是面ABCD内的交线，
∴SA⊥底面ABCD，SA⊥CD，
又∵AD⊥CD，∴CD⊥面SAD，∴CD⊥AF，
又∵SA=AD，F是中点，∴AF⊥SD，
∴AF⊥面SCD，EG⊥面SCD，∴面SEC⊥面SCD，
∴二面角E-SC-D的大小为90°．…（8分）
（2）作DH⊥SC于H，
∵面SEC⊥面SCD，∴DH⊥面SEC，
∴DH之长即为点D到面SEC的距离，
∵在Rt△SCD中，DH=

SD•DC

SC

=

2 a•a

3 a

=

6

3

a，
答：点D到面SEC的距离为

6

3

a．…（12分）

点评：本题考查二面角大小的求法，考查点到平面的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．