Question

已知函数f（x）=|1-

1

x

|（x＞0），当0＜a＜b，若f（a）=f（b）时，则有（　　）

• A、ab＞1
• B、ab≥1
• C、ab≥

  1

  2

• D、ab＞

  1

  2

Answer 1

考点：函数的图象与图象变化

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得f（x）=

1- 1 x  ，  x≥1 1 x -1 ，0＜x＜1

，故f（x）在（0，1）内递减，在（1，+∞）内递增．由0＜a＜b，且f（a）=f（b），可得

1

a

+

1

b

=2，再利用基本不等式求得ab＞1．

解答： 解：∵x＞0，当x≥1时，1-

1

x

≥0，f（x）=|1-

1

x

|=1-

1

x

，
当x＜1时，1-

1

x

＜0，f（x）=|1-

1

x

|=

1

x

-1，
∴f（x）=

1- 1 x  ，  x≥1 1 x -1 ，0＜x＜1

．
∴f（x）在（0，1）内递减，在（1，+∞）内递增．
由0＜a＜b，且f（a）=f（b）⇒0＜a＜1＜b，
∴

1

a

-1=1-

1

b

，即

1

a

+

1

b

=2，∴2＞2

1 ab

，解得ab＞1，
故选：A．

点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数，基本不等式的应用，其中根据绝对值的定义去掉绝对值符号，将函数的解析式化为分段函数的形式是解答的关键，属于中档题．