【题目】如图,在正三棱柱中,
的面积为
,
.点
为线段
的中点.
(1)在线段上找一点
,使得平面
平面
,并证明;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)先取的中点
,连接
,根据面面平行的判定定理即可得出结论成立;
(2)先取中点
,
的中点
,分别以
所在直线为
轴,建立空间直角坐标系,分别求出平面
的一个法向量以及平面
的一个法向量,求出向量夹角的余弦值即可得出结果.
(1)取的中点
,连接
.
,
四边形
为平行四边形,
,
平面
,
平面
,
平面
;
同理可得,四边形为平行四边形,
平面
;
,
平面
,
平面
.
平面
平面
.
(2)取中点
,
的中点
,分别以
所在直线为
轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
,
,
,
.
由题意得,.
则,
.
设平面的一个法向量为
,
则,即
,即
.
令,则
,
,即
.
又平面的一个法向量为
.
,
由图可知,二面角为锐角,
故二面角的余弦值为
.
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【题目】2018年,某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策,经济运行平稳增长,民生保障持续加强,惠民富民成效显著,城镇居民收入稳步增长,收入结构稳中趋优.据当地统计局公布的数据,现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图(一)与人均月收入绘制成如图(二)所示的不完整的条形统计图.现给出如下信息:
①10月份人均月收入增长率为;
②11月份人均月收入约为1442元;
③12月份人均月收入有所下降;
④从上图可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高.
其中正确的信息个数为( )
A. 1B. 2C. 3D. 4
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【题目】已知抛物线的焦点为
,
,
是抛物线上的两个动点,且
,过
,
两点分别作抛物线的切线,设其交点为
.
(1)若直线与
,
轴分别交于点
,
,且
的面积为
,求
的值;
(2)求的值.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,设点
,已知
,求实数
的值.
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【题目】某教师将寒假期间该校所有学生阅读小说的时间统计如下图所示,并统计了部分学生阅读小说的类型,得到的数据如下表所示:
男生 | 女生 | |
阅读武侠小说 | 80 | 30 |
阅读都市小说 | 20 | 70 |
(1)是否有99.9%的把握认为“性别”与“阅读小说的类型”有关?
(2)求学生阅读小说时间的众数和平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(3)若按照分层抽样的方法从阅读时间在、
的学生中随机抽取6人,再从这6人中随机挑选2人介绍选取小说类型的缘由,求所挑选的2人阅读时间都在
的概率.
附:,
.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】已知两个平面相互垂直,下列命题
①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线
②一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线
③一个平面内任意一条直线必垂直于另一个平面
④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面
其中正确命题个数是( )
A. B.
C. 1D.
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【题目】十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布
,其中
近似为年平均收入
,
近似为样本方差
,经计算得
.利用该正态分布,求:
(i)在2019年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况, 扶贫办随机走访了1000位农民。若每个农民的年收人相互独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
附:参考数据与公式,若
~
,则①
;②
;③
.
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【题目】已知复数z=,(m∈R,i是虚数单位).
(1)若z是纯虚数,求m的值;
(2)设是z的共轭复数,复数
+2z在复平面上对应的点在第一象限,求m的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】下列命题正确的是( )
A.若数列、
的极限都存在,且
,则数列
的极限存在
B.若数列、
的极限都不存在,则数列
的极限也不存在
C.若数列、
的极限都存在,则数列
、
的极限也存在
D.数,若数列
的极限存在,则数列
的极限也存在
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