Question

【题目】若无穷数列满足：，且对任意的，（，，，）都有，则称数列为“G”数列.

（1）已知等比数列的通项为，证明：是“G”数列；

（2）记数列的前n项和为且有，若对每一个取，中的较小者组成新的数列，若数列为“G”数列，求实数的取值范围？

（3）若数列是“G”数列，且数列的前n项之积满足，求证：数列是等比数列.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）由数列为等比数列，根据其性质即可得证；

（2）由，可得，在根据其为“”数列，得出实数的取值范围即可；

（3）利用是“”数列可以得出，在利用比值的形式即可求证.

（1）因为等比数列通项为，

当，时，

，

所以是“ “数列．

（2）因为，所以，

因为无穷数列满足：，可知；

所以，，

又，

从而，

考察到数列从第二项起为等比数列，则同第（1）问，

有当，，，，恒有，

那么当时，由数列为“ “数列

可知对任意的，，，，恒有，

即有，等价于，恒成立，

由，知；

综上：．

（3）若数列是“”数列，则，

①当时，

；

；

；

；

叠乘即可得出，即；

②当时；

；

；

；

；

；即；

即；

综上所述：对任意的，均有；

，

；①

②；

由可得：，即③；

④；

由③④可得：；

；

数列是等比数列；