Question

【题目】已知抛物线：（），圆：（），抛物线上的点到其准线的距离的最小值为.

（1）求抛物线的方程及其准线方程；

（2）如图，点是抛物线在第一象限内一点，过点P作圆的两条切线分别交抛物线于点A，B（A，B异于点P），问是否存在圆使AB恰为其切线？若存在，求出r的值；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的方程为，准线方程为.（2）存在，

【解析】

（1）由得到p即可；

（2）设，利用点斜式得到PA的的方程为，由到PA的距离为半径可得，同理，同理写出直线AB的方程，利用点到直线AB的距离为半径建立方程即可.

解：（1）由题意得，解得，

所以抛物线的方程为，准线方程为.

（2）由（1）知，.

假设存在圆使得AB恰为其切线，设，，

则直线PA的的方程为，即.

由点到PA的距离为r，得，

化简，得，

同理，得.所以，是方程的两个不等实根，

故，.

易得直线AB的方程为，

由点到直线AB的距离为r，得，

所以，

于是，，

化简，得，即.

经分析知，，因此.