Question

【题目】已知函数

（1）当时，求满足不等式组的的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立.求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

对函数求导判断其单调区间,从而可得函数在上为减函数, 而由零点存在性定理知, 使得,进而解不等式取交集即可;

令，时，成立的一个充分条件是:即,化为，构造函数,通过求导判断其单调性求最值即可求解.

当时,函数，

所以，

当时,,所以函数在上为增函数，

当时,,所以函数在上为减函数，

而

故使得

所以不等式的解集为,

不等式需满足,

即不等式的解集为，

求交集得的取值范围为.

令

，

时，成立的一个充分条件是:

即,化为,

令,则,

当时,，即，

当时，

,即，

综上可知,在上恒成立，

即函数在上单调递减，

所以函数最大值为，

因为,所以,

当时,因为，所以，

若在上无零点，则在上恒成立,

即函数在上单调递减,

所以，不合题意舍去；

若在(上有零点，设是最小零点，

则在上不合题意舍去，

综上可知实数的取值范围为.