Question

已知函数f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2；
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在（1，+∞）上的增减性，并证明．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数单调性的判断与证明

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）求出f（x）的解析式，求出定义域，判断是否关于原点对称，计算f（-x），与f（x）比较，即可得到奇偶性；
（2）f（x）在（1，+∞）上递增，运用定义法证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤．

解答： 解：（1）f（x）=x+

m

x

，且f（1）=2，
则1+m=2，解得m=1，
f（x）=x+

1

x

，
定义域为{x|x≠0，x∈R}，关于原点对称，
f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x），
则f（x）为奇函数；
（2）f（x）在（1，+∞）上递增，
理由如下：设1＜m＜n，则f（m）-f（n）=m+

1

m

-（n+

1

n

）=（m-n）+

n-m

mn

=（m-n）•

mn-1

mn

由于1＜m＜n，则m-n＜0，mn＞1，即mn-1＞0，
即有f（m）-f（n）＜0，即有f（m）＜f（n）．
则f（x）在（1，+∞）上递增．

点评：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和证明，考查定义法的运用，考查运算能力，属于基础题．