Question

已知F₁，F₂为椭圆C：C：

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的左右焦点，O是坐标原点，过F₂作垂直于x轴的直线MF₂交椭圆于M，设|MF₂|=d．
（1）证明：d，b，a成等比数列；
（2）若M的坐标为（

2

，1），求椭圆C的方程；

Answer 1

分析：（1）先把x=c代入椭圆方程求得y，进而求得d，可知d×a=b²，进而根据等比中项的性质，原式得证．
（2）把M坐标代入椭圆方程求得a和b的关系，进而根据c=1求得a和b的另一个关系，联立方程求得a和b，则椭圆的方程可得．

解答：（1）证明：先求M点坐标把x=c代入椭圆方程

c2

a2

+

y2

b2

=1求得则y=

b2

a

即d=

b2

a

∴d×a=b²故d，b，a成等比数列
（2）解：依题意可知

a2-b2=2 2 a2 + 1 b2 =1

解得b²=2，a²=4
故椭圆的方程为

x2

4

+

y2

2

=1．

点评：本题主要考查了椭圆的简单性质，等比数列的性质，椭圆的标准方程．考查了学生综合分析问题的能力．