Question

【题目】如图所示，有一块半径长为1米的半圆形钢板，现要从中截取一个内接等腰 梯形部件ABCD，设梯形部件ABCD的面积为平方米．

（1）按下列要求写出函数关系式：

①设（米），将表示成的函数关系式；

②设，将表示成的函数关系式．

（2）求梯形部件ABCD面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）①，②；（2）．

【解析】

试题分析：（1）①梯形上底和下底确定，故需表示梯形高即可．过点C作于E,则在中，，故梯形面积为；②思路与第一问相同，不同的是变量的选取差异，在中，，则梯形上、下底分别为和2，高为，故梯形面积为

；（2）以为例，函数解析式变形为

，利用导数求被开方数的最大值即可.

试题解析：如图所示，以直径所在的直线为轴，线段中垂线为轴，建立平面直角坐标系，过点C作于E，

（1）①∵，∴，

∴

4分

②∵，∴，

∴， 8分

（说明：若函数的定义域漏写或错误，则一个扣1分）

（2）（方法1）∴，

令，

则， 10分

令，，（舍）． 12分

∴当时，，∴函数在（0，）上单调递增，

当时，，∴函数在（，1）上单调递减， 14分

所以当时，有最大值， 16分

答：梯形部件面积的最大值为平方米．

（方法2） ∴

， 10分

令，得，即，（舍）， 12分

∴当时， ，∴函数在上单调递增，

当时，，∴函数在上单调递减 ， 14分

所以当时， 16分

答：梯形部件ABCD面积的最大值为平方米．