Question

求函数f（x）=

1

2

x+sinx，x∈[0，2π]的最值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：f′(x)=

1

2

+cosx，x∈[0，2π]．令f′（x）=0，解得x=

2π

3

或

4π

3

．分别令f′（x）＞0，令f′（x）＜0，即可得出函数的单调性，求出极值与区间端点的函数值，经过比较即可得出最值．

解答： 解：f′(x)=

1

2

+cosx，x∈[0，2π]．
令f′（x）=0，解得x=

2π

3

或

4π

3

．
令f′（x）＞0，解得0≤x＜

2π

3

或

4π

3

＜x≤2π，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得

2π

3

＜x＜

4π

3

，此时函数f（x）单调递减．
计算可得：f（0）=0，f(

2π

3

)=

π

3

+

3

2

，f(

4π

3

)=

2π

3

-

3

2

，f（2π）=π．
因此最大值为π，最小值为0．

点评：本题考查了利用导数研究闭区间上函数的最值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．