Question

如图所示，设F是抛物线E：x²=2py（p＞0）的焦点，过点F作斜率分别为k₁、k₂的两条直线l₁、l₂，且k₁•k₂=-1，l₁与E相交于点A、B，l₂与E相交于点C，D．已知△AFO外接圆的圆心到抛物线的准线的距离为3（O为坐标原点）．
（1）求抛物线E的方程；
（2）若

AF

•

FB

+

DF

•

FC

=64，求直线l₁、l₂的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=

p

4

上，求出p，即可求抛物线E的方程；
（2）利用

AF

•

FB

+

DF

•

FC

=64，结合韦达定理，基本不等式，即可求直线l₁、l₂的方程．

解答： 解：（1）由题意，F（0，

p

2

），△AFO外接圆的圆心在线段OF的垂直平分线y=

p

4

上，
∴

p

4

+

p

2

=3，∴p=4．
∴抛物线E的方程是x²=8y；
（2）设直线l₁的方程y=k₁x+2，代入抛物线方程，得y²-（8k₁²+4）y+4=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则y₁+y₂=8k₁²+4，y₁y₂=4
设C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），同理可得y₃+y₄=

8

k12

+4，y₃y₄=4
∴

AF

•

FB

+

DF

•

FC

=32+16（k₁²+

1

k12

）≥64，
当且仅当k₁²=

1

k12

，即k₁=±1时取等号，
∴直线l₁、l₂的方程为y=x+2或y=-x+2．

点评：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查向量知识的运用，属于中档题．