Question

【题目】已知函数．

（1）证明：当时，恒成立；

（2）若函数在上只有一个零点，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）详见解析（2）或

【解析】

（1）对函数求导，得到函数的最小值为2，即可证明.

（2对a分类讨论，易得a=0时无零点，a<0和a>0时求函数的导数，判断函数的单调性和极值，通过分析特殊点的函数值即可得到结论．

（1）f′（x）=，

令f′（x）=0，得到x=0,

当x<0时，f′（x）<0，单调递减，

当x>0时，f′（x）>0，单调递增, ∴在x=0处取得最小值.

,

∴.

（2）当a=0时，>0恒成立，无零点，与题意不符；

当a<0时，f′（x）=,在R上单调递增,

又x=时,=-1+a<1-1+a<0,x=1时，=e>0，

根据零点存在性定理，在R上有唯一零点，

当a>0时，f′（x）=

令f′（x）=，x=lna,

，f(x)单减，

，f(x)单增，

在x=lna处取得最小值，f（lna）=a-a(lna-1)=a(2-lna)=0，

Lna=2，所以a=

∴当a<0或a=时，在R上有唯一的零点.