Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的值域；

（2）若函数的最大值是，求的值；

（3）已知，若存在两个不同的正数，当函数的定义域为时，的值域为，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1） （2）（3）

【解析】

（1）时写出函数表达式，根据真数范围求解函数值域即可。（2）设换元真数部分为关于的一元二次函数，又有最大值，所以开口只能向下，即，在对称轴处取得最大值，即可求出的范围。（3）较易判断为增函数，函数的定义域为时，的值域为可理解为函数与有两个交点正数交点，，另外将进行换元即可转化成关于的一个一元二次函数求解。

（1）时，

因为，所以

所以此时的值域是。

（2）设，则，若此时，开口向上没有最大值。由第一问可知）时也不满足，所以开口只能向下，即且此时对称轴。

当时，最大值在对称轴处取得，

即

解出 或（舍）

所以。

（3）当时，设，设真数为，此时对称轴，所以当时m为增函数，即为增函数。

所以函数的定义域为时，的值域为，可理解为函数与有两个交点正数交点，，

即有两个正根。

即，设

所以

即有两个大于1的根。

所以此时只需即可，即

又，所以。