Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；

（Ⅱ）若在区间上恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出，对分四种情况讨论，分别令求得的范围，可得函数增区间， 求得的范围，可得函数的减区间；（Ⅱ）令 ，原问题等价于在区间上恒成立，因为，要想在区间上恒成立，只需，可得当时，利用导数研究函数的单调性，从而求出，进而可得结论.

试题解析：（Ⅰ） ，

①当，即时， 时， ， 时， ，

所以在区间上单调递减，在区间上单调递增；

②当，即时， 和时， ， 时， ，

所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

③当，即时， 和时， ， 时， ，

所以在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

④当，即时， ，所以在定义域上单调递增；

综上：①当时， 在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

②当时， 在定义域上单调递增；

③当时， 在区间上单调递减，在区间和上单调递增；

④当时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增．

（Ⅱ）令 ，

原问题等价于在区间上恒成立，可见，

要想在区间上恒成立，首先必须要，

而，

另一方面当时， ，由于，可见，

所以在区间上单调递增，故，所以在区间上单调递减，

∴成立，故原不等式成立．

综上，若在区间上恒成立，则实数的取值范围为