Question

【题目】已知数列中， ，其前项和为，满足．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）记，求数列的前项和，并证明．

Answer 1

【答案】(1) (2) ，见解析

【解析】试题分析：（Ⅰ）由，得，两式相减可得，得，从而得数列是首项为，公比为的等比数列，进而可得结果；（Ⅱ）由，得 ，利用裂项相消法求出数列的前项和，利用放缩法可证明.

试题解析：（Ⅰ）由，得，

后式减去前式，得，得．

因为，可得，所以，

即数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以．

（Ⅱ）因为，所以 ，

所以 ，

因为，所以．

【方法点晴】本题主要考查等比数列的定义通项公式、求和公式，以及裂项相消法求数列的和，属于中档题. 裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.