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函数f(x)=ax3+(a-1)x2+48(b-3)x+b的图象关于原点成中心对称,则f(x)


  1. A.
    数学公式上为增函数
  2. B.
    数学公式上不是单调函数
  3. C.
    数学公式上为减函数,在数学公式上为增函数
  4. D.
    数学公式为增函数,在数学公式也为增函数
D
分析:由题意判断出f(x)必为奇函数,由此根据奇函数的定义列出方程组,进而求出函数的解析式,求出导函数后,分析导函数在各个区间上的符号,即可得到答案.
解答:由f(x)关于原点中心对称,即f(x)是奇函数,
,解得a=1,b=0,
则f(x)=x3-144x
∴f′(x)=3x2-144=3(x2-48)=3(x-)(x+),
令f′(x)>0,则x<-或x>
令f′(x)<0,则-<x<
∴f(x)在(-)上为减函数,在(-∞,-),(,+∞)上是增函数,
故选D.
点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性,及函数奇偶性的性质,其中根据已知条件判断出函数为奇函数,进而求出函数的解析式,是解答本题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

有下列命题:
①若f(x)存在导函数,则f′(2x)=[f(2x)]′.
②若函数h(x)=cos4x-sin4x,则h′(
π12
)=1

③若函数g(x)=(x-1)(x-2)…(x-2009)(x-2010),则g′(2010)=2009!.
④若三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d,则“a+b+c=0”是“f(x)有极值点”的充要条件.
其中真命题的序号是
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

18、已知函数f(x)=ax3-6ax2+b(x∈[-1,2])的最大值为3,最小值为-29,求a、b的值.

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科目:高中数学 来源: 题型:

对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0).
定义:(1)设f″(x)是函数y=f(x)的导数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”;
定义:(2)设x0为常数,若定义在R上的函数y=f(x)对于定义域内的一切实数x,都有f(x0+x)+f(x0-x)=2f(x0)成立,则函数y=f(x)的图象关于点(x0,f(x0))对称.
己知f(x)=x3-3x2+2x+2,请回答下列问题:
(1)求函数f(x)的“拐点”A的坐标
 

(2)检验函数f(x)的图象是否关于“拐点”A对称,对于任意的三次函数写出一个有关“拐点”的结论
 

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科目:高中数学 来源: 题型:

若函数f(x)=ax3-2x2+a2x在x=1处有极小值,则实数a等于
1
1

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知下表为函数f(x)=ax3+cx+d部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,相关函数值取非整数值时,取值精确到0.01.
x -0.61 -0.59 -0.56 -0.35 0 0.26 0.42 1.57 3.27
y 0.07 0.02 -0.03 -0.22 0 0.21 0.20 -10.04 -101.63
根据表中数据,研究该函数的一些性质:
(1)判断f(x)的奇偶性,并证明;
(2)判断f(x)在[0.55,0.6]上是否存在零点,并说明理由.

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