Question

【题目】设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的焦距为，直线的斜率为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设直线（）与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的倍，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用椭圆的焦距和的斜率列方程组，解方程组求得的值，由此求得椭圆标准方程.（2）设出两点的坐标，利用“的面积是面积的倍”得到，转化为向量，并用坐标表示出来，求得两点横坐标的关系式.联立直线的方程和直线的方程，求得点的横坐标；联立椭圆的方程和直线的方程，求得点的横坐标，根据上述求得的两点横坐标的关系式列方程，解方程求得的可能取值，验证点横坐标为负数后得到的值.

解：（1）设椭圆的焦距为，由已知得，

所以，，

所以椭圆的方程为.

（2）设点，，由题意，且，

由的面积是面积的倍，可得，

所以，从而，

所以，即.

易知直线的方程为，由，消去，可得.

由方程组，消去，可得.

由，可得，

整理得，解得或.

当时，，符合题意；当时，，不符合题意，舍去.

综上，的值为.