Question

如图，是边长为3的正方形，，，与平面所成的角为.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)设点是线段上一动点，试确定的位置，使得，并证明你的结论．

Answer 1

（1）；（2）三等分点

解析试题分析：（1）根据平面，确定就是与平面所成的角，从而得到，且，可以建立空间直角坐标系，写出，设出的一个法向量为，根据，解出，而平面的法向量设为，所以利用向量数量积公式得出二面角的余弦值为；（2）由题意设，则，而平面，∴，代入坐标，求出，所以点M的坐标为，此时，∴点M是线段BD靠近B点的三等分点.
试题解析：
平面，就是与平面所成的角，即，∴.
如图，分别以为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则各点的坐标如下，∴，设平面的一个法向量为，则，即，令，则.
∵平面，∴平面的法向量设为，∴，故二面角的余弦值为.

（2）由题意，设，则，∵平面，∴，即解得，∴点M的坐标为，此时，∴点M是线段BD靠近B点的三等分点.
考点：1.直线，平面位置关系的证明；2.利用空间向量求二面角.