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已知函数f(x)=x+
4
x

(1)用定义证明函数f(x)在(0,2)上为减函数;
(2)若x∈[1,2],求函数f(x)的值域.
(1)∵f(x)=x+
4
x

对任意的0<x1<x<2,
f(x1)-f(x2)=x1+
4
x1
-x2-
4
x2
=(x1-x2
x1x2-4
x1x2

由题设可得,0<x1<x2<2,0<x1x2<4,x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,
f(x1)>f(x2),
故函数f(x)在[1,2]上为减函数.
(2)由(1)得f(x)在[1,2]上为减函数.
f(x)max=f(1)=5,f(x)min=f(2)=4,
故f(x)在[1,2]上的值域为[4,5].
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知函数f(n)=
n-3,n≥10
f(f(n+5)),n<10.
其中n∈N*,则f(6)的值为(  )
A.6B.7C.8D.9

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设f(x)的定义域为D,f(x)满足下面两个条件,则称f(x)为闭函数.
①f(x)在D内是单调函数;
②存在[a,b]⊆D,f(x)在[a,b]上的值域为[a,b].
如果f(x)=
2x+1
+k
为闭函数,那么k的取值范围是______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

分段函数f(x)=
x+3(x≤-1)
-2x(x>-1)
,错误的结论是(  )
A.f(x)有最大值2B.x=-1是f(x)的最大值点
C.f(x)在[1,+∞)上是减函数D.f(x)是有界函数

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

若函数f(x)=
ax,(x>1)
(4-
a
2
)x+2,(x≤1)
是R上的单调函数,则实数a取值范围为(  )
A.(1,+∞)B.(1,8)C.(4,8)D.[4,8)

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

下列函数在R上单调递增的是(  )
A.y=|x|B.y=lgxC.y=x
1
2
D.y=2x

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科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

以下各函数中:①y=1;②y=
x
1-x
+2
;③y=e-x;④y=x-
2
3
.在区间(-∞,0)上为增函数的是(  )
A.①③B.①④C.②④D.②③

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知函数y=f(x),x∈N*,y∈N*,对任意n∈N*都有f[f(n)]=3n,且f(x)是增函数,则f(3)=______.

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科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

定义在R上的函数满足,则的值为           

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