试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义可求得
和
,再根据
,可求得
。即可求出椭圆方程。(Ⅱ)由点斜式设出直线方程,然后联立,消掉
(或
)得到关于
的一元二次方程。因为有两个交点所以判别式大于0,再根据韦达定理得出根与系数的关系。根据题意可知
且
。用这两个条件可列出两个方程。如用直线垂直来解需讨论斜率存在与否,为了省去讨论可转化为向量垂直问题用数量积公式求解, 注意讨论根的取舍。
试题解析:解:(Ⅰ)设椭圆标准方程为
.依题意
,所以
.
又
,所以
.
于是椭圆
的标准方程为
. 5分
(Ⅱ)依题意,显然直线
斜率存在.设直线
的方程为
,则
由
得
.
因为
,得
. ①
设
,线段
中点为
,则
于是
.
因为
,线段
中点为
,所以
.
(1)当
,即
且
时,
,整理得
. ②
因为
,
,
所以
,
整理得
,解得
或
.
当
时,由②不合题意舍去.
由①②知,
时,
.
(2)当
时,
(ⅰ)若
时,直线
的方程为
,代入椭圆方程中得
.
设
,
,依题意,若△
为等腰直角三角形,则
.即
,解得
或
.
不合题意舍去,
即此时直线
的方程为
.
(ⅱ)若
且
时,即直线
过原点.依椭圆的对称性有
,则依题意不能有
,即此时不满足△
为等腰直角三角形.
综上,直线
的方程为
或
或
. 14分