Question

【题目】已知函数与的图象在点处有相同的切线．

（Ⅰ）若函数与的图象有两个交点，求实数的取值范围；

（Ⅱ）设函数，，求证：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析．

【解析】

试题分析: (1)求出 的导数，由题意可得 ，求出，得到，设，求出导数，单调区间和最值，由题意可得只要最大值大于0，即可得到所求 的范围； (2)求出 的解析式，求得导数，令 ，求得导数，判断，即有在 递增，运用分析法证明，要证，即证，即，变形为．令，即证，设，求出导数，判断单调性，即可得证．

试题解析：

（Ⅰ）因为，，根据题意，得解得

所以．　

设，则，

当时，，当时，，

所以，

又因为→时，→；当→时，→，

故欲使两图象有两个交点，只需，，

所以实数的取值范围为.

（Ⅱ）由，，得．

设，则，当时，，单调递增，

所以，所以，所以．

要证，只需证，即，

变形得，等价于，等价于，

令()，则只需证，设，则，

所以，

所以对恒成立，即．