Question

（2012•黄冈模拟）设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且cosB=

4

5

，b=2．
（Ⅰ）当A=30°时，求a的值；
（Ⅱ）当△ABC的面积为3时，求a+c的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为cosB=

4

5

，可得sinB=

3

5

，由正弦定理求出a的值．
（Ⅱ）因为△ABC的面积S=

1

2

acsinB=3，sinB=

3

5

，可以求得ac=10，再由余弦定理可得a²+c²=20=（a+c）²-2ac，由此求出a+c的值．

解答：解：（Ⅰ）因为cosB=

4

5

，所以sinB=

3

5

．…（2分）
由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

，可得

a

sin30°

=

10

3

．…（4分）
所以a=

5

3

．…（6分）
（Ⅱ）因为△ABC的面积S=

1

2

acsinB=3，且sinB=

3

5

，
所以

3

10

ac=3，ac=10．…（8分）
由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，…（9分）
得4=a2+c2-

8

5

ac=a2+c2-16，即a²+c²=20．…（10分）
所以（a+c）² -2ac=（a+c）² -20=20，
故（a+c）²=40，…（12分）
所以，a+c=2

10

．…（13分）

点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，属于中档题．