Question

（2012•黄冈模拟）已知函数f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

(x- 1 2 )2+1(x＞0) -(x+3)2+1(x≤0)

，则方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的实数根最多有（　　）个．

A．6个

B．4个

C．7个

D．8个

Answer 1

分析：利用导数求的f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=-3，且函数的值域为R．分a=1、0＜a＜1、a＞1三种
情况，研究方程跟的个数，从而得出结论．

解答：解：∵函数f(x)=x3-3x2+1，g(x)=

(x- 1 2 )2+1(x＞0) -(x+3)2+1(x≤0)

，
令f′（x）=0 可得 x=0，x=2，在（-∞，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数；
在（0，2）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（2，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数．
故f（x）的极大值为f（0）=1，极小值为f（2）=-3，且函数的值域为R．
由函数g（x）的图象可得，当x=-3或x=

1

2

时，g（x）=1．
①当a=1时，若方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）=-3，此时方程有2个根，或f（x）=

1

2

，此时方程有3个根，
故方程g[f（x）]-a=0可能共有5个根．
②当0＜a＜1时，方程g[f（x）]-a=0，则：
f（x）∈（-4，-3），此时方程有1个根，或f（x）∈（-3，-2），此时方程有3个根
故方程g[f（x）]-a=0可能共有4个根．
③当a＞1时，方程g[f（x）]-a=0，则：f（x）∈（0，

1

2

），或f（x）∈（

1

2

，+∞），
方程可能有4个、5个或6个根．
故方程g[f（x）]-a=0（a为正实数）的实数根最多有6个，
故选 A．

点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中分析内外函数的图象是解答本题的关键，属于中档题．