Question

如图，四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ADC=

π

2

，PC⊥平面ABCD，点E为AB中点．AC⊥DE，其中AD=1，PC=2，CD=

3

；
（1）求直线PC与平面PDE所成的角；
（2）求点B到平面PDE的距离．

Answer 1

分析：（1）建立空间坐标系c-xyz，分别求出直线PC的方向向量与平面PDE的法向量，代入向量夹角公式，即可得到直线PC与平面PDE所成的角；
（2）根据（1）中平面PDE的法向量，设点B到平面PDE的距离为d，代入点到平面距离公式d=

| BP • n |

| n|

，即可求出点B到平面PDE的距离．

解答：解：如图建立空间坐标系c-xyz
设BC=a，则A（1，

3

，0），D（0，

3

，0），B（a，0，0），E（

a+1

2

，

3

2

，0），P（0，0，2）

CA

=（1，

3

，0），

DE

=(

a+1

2

，-

3

2

，0）
∵AC⊥DE
∴1×

a+1

2

+

3

×(-

3

2

)+0=0，即a=2．
∴E（

3

2

，

3

2

，0）
设平面PDE的一个法向量

n

=（x，y，z），

PD

=(0，

3

，-2），

DE

=（

3

2

，-

3

2

，0），
则

n

⊥

PD

，

n

⊥

DE

，即

3 y-2z=0 3 2 x- 3 2 y=0

，
令x=2，得y=2

3

，z=3，所以

n

=（2，2

3

，3）．
设直线PC与平面PDE所成的角为θ
∵

CP

=（0，0，2），
∴sinθ=|cos＜

n

，

CP

＞|=

6

4+12+9 ×2

=

3

5

，
∴cosθ=

4

5

．
故直线PC与平面PDE所成的角为arccos

4

5

（2）

BP

=（-2，0，2）
设点B到平面PDE的距离为d，
则d=

| BP • n |

| n|

=

|-2×2+2×3|

4+12+9

=

2

5

．
即点B到平面PDE的距离为

2

5

点评：本题考查的知识点是直线与平面所成的角，点到平面的距离，其中建立适当的空间坐标系，线面夹角及点到平面距离问题，转化为向量夹角或向量求模问题是解答本题的关键．