Question

如图，锐角三角形ABC中，以BC为直径的半圆分别交AB、AC于点D、E，则△ADE与△ABC的面积之比为（　　）

• A、cosA
• B、sinA
• C、sin²A
• D、cos²A

Answer 1

考点：圆內接多边形的性质与判定

专题：选作题,立体几何

分析：连接BE．构建直角△ABE，通过解该直角三角形求得cosA=

AE

AB

；然后通过相似三角形△AED∽△ABC的对应边的比成比例知

AE

AB

=

AD

AC

；最后结合三角形的面积公式分别求得△ADE、△ABC的面积．

解答： 解：如图，连接BE．
∵BC为半圆的直径，
∴∠BEC=∠AEB=90°．
∴在直角△ABE中，cosA=

AE

AB

，
∵点D、B、C、E四点共圆，
∴∠ABC+∠DEC=180°．
∵∠DEC+∠AED=180°，
∴∠ABC=∠AED．
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ABC，
∴

AE

AB

=

AD

AC

．
∵S_△ADE=

1

2

AE•AD•sinA，S_△ABC=

1

2

AB•AC•sinA，
∴S_△ADE：S_△ABC=

AE•AD

AB•AC

=

AE2

AB2

=cos²A．
故选：D．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及解直角三角形等知识点．解答该题时，借用了圆内接四边形的内对角互补的性质．