Question

4．已知a＞0，a≠1，比较a+$\frac{1}{a}$与a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$的大小．

Answer 1

分析 作差化简即可比较出两数的大小关系．

解答 解：∵a＞0，a≠1，∴a²-a+1=$（a-\frac{1}{2}）^{2}+\frac{3}{4}$＞0．
∴（a+$\frac{1}{a}$）-（a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$）=（a-a²）+$\frac{a-1}{{a}^{2}}$=-$\frac{（a-1）（{a}^{3}-1）}{{a}^{2}}$=-$\frac{（a-1）^{2}（{a}^{2}+a+1）}{{a}^{2}}$＜0，
∴a+$\frac{1}{a}$＜a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$．

点评 本题考查了比较两数大小最常用的方法比较法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．