Question

3．已知函数y=（$\frac{1}{2}$）^x2-4x+1，求函数的单调区间及值域．

Answer 1

分析 原函数是内函数t=x²-4x+1与外函数g（t）=$（\frac{1}{2}）^{t}$的复合函数，求出内函数的单调区间，然后利用复合函数的单调性求得原函数的单调区间，再利用配方法求出t的范围，代入外函数可得原函数的值域．

解答 解：令t=x²-4x+1，
则原函数化为g（t）=$（\frac{1}{2}）^{t}$，
内函数t=x²-4x+1的减区间（-∞，2]，增区间为（2，+∞），
而外函数g（t）=$（\frac{1}{2}）^{t}$为减函数，
∴原复合函数的增区间为（-∞，2]，减区间为（2，+∞）；
又t=x²-4x+1=（x-2）²-3≥-3，
∴g（t）=$（\frac{1}{2}）^{t}$∈（0，$（\frac{1}{2}）^{-3}$]=（0，8]．
∴函数y=（$\frac{1}{2}$）^x2-4x+1的值域为（0，8]．

点评 本题考查复合函数的单调性，复合的两个函数同增则增，同减则减，一增一减则减，注意函数的定义域是求解的前提，考查学生发现问题解决问题的能力，是中档题．