【题目】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cos C=.
(1)若·=,求c的最小值;
(2)设向量x=(2sin B,-),y=,且x∥y,求sin(B-A)的值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
试题分析:(1)借助题设条件运用向量的数量积公式及余弦定理求解;(2)借助题设运用向量平行建立方程,再利用三角变换公式探求.
试题解析:
(1) ∵ ·=,∴ abcosC=
,∴ ab=15…………………..3分
∴ c2=a2+b2-2abcosC≥2ab-2ab·=21(当且仅当a=b时取等号).
∵ c>0,∴ c≥,…………………………………………………………..5分
∴ c的最小值为…………………………………………………….7分
(2) ∵ x∥y,∴ 2sin B+
cos2B=0,
2sinBcosB+cos2B=0,即sin 2B+
cos2B=0,
∴ tan2B=-,∴ 2B=
或
,∴ B=
或
……………………10分
∵ cos C=<
,∴ C>
,
∴ B= (舍去),∴ B=
……………………………………………..12分
∴ sin(B-A)=sin[B-(π-B-C)]
=sin=sinCcos
-cos Csin
=×
-
×
=
…………………………………………..16分
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【题目】已知函数,其中
,
.
是自然对数的底数.
(1)求曲线在
处的切线方程为
,求实数
,
的值;
(2)①若时,函数
既有极大值又有极小值,求实数
的取值范围;
②若,
,若
对一切正实数
恒成立,求实数
的取值范围(用
表示).
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【题目】先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为.
(Ⅰ)求满足的概率;
(Ⅱ)设三条线段的长分别为和5,求这三条线段能围成等腰三角形(含等边三角形)的概率.
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【题目】设函数,
表示
导函数.
(1)当时,求函数
在点
处的切线方程;
(2)讨论函数的单调区间;
(3)对于曲线上的不同两点
,求证:存在唯一的
,使直线
的斜率等于
.
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【题目】某市统计局就某地居民的月收入调查了10000人,并根据所得数据画出样本的频率分布直方图,每个分组包括左端点,不包括右端点,如第一组表示收入在.
(1)求居民收入在的频率;
(2)根据频率分布直方图算出样本数据的中位数、平均数及其众数;
(3)为了分析居民的收入与年龄、职业等方面的关系,从这10000人中用分层抽样方法抽出100人作进一步分析,则应月收入为的人中抽取多少人?
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【题目】已知椭圆的两个焦点分别为
,
,短轴的两个端点分别为
,
.
(1)若为等边三角形,求椭圆
的方程;
(2)若椭圆的短轴长为2,过点
的直线
与椭圆
相交于
、
两点,且
,求直线
的方程.
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【题目】在平面直角坐标系中,椭圆
的离心率为
,右顶点为
,直线
过原点
,且点
在x轴的上方,直线
与
分别交直线
:
于点
、
.
(1)若点,求椭圆的方程及△ABC的面积;
(2)若为动点,设直线
与
的斜率分别为
、
.
①试问是否为定值?若为定值,请求出;否则,请说明理由;
②求△AEF的面积的最小值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知两定点、
,⊙C的方程为
.当⊙C的半径取最小值时:
(1)求出此时m的值,并写出⊙C的标准方程;
(2)在x轴上是否存在异于点E的另外一个点F,使得对于⊙C上任意一点P,总有为定值?若存在,求出点F的坐标,若不存在,请说明你的理由;
(3)在第(2)问的条件下,求的取值范围.
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