Question

20．某几何体直观图与三视图如图所示，AB是⊙O的直径，PA垂直⊙O的直径，PA垂直⊙O所在的平面，C为圆周上一点．
（1）求证：BC⊥平面PAC；
（2）若三棱锥B-PAC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，求锐二面角C-PB-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根据线面垂直的判定定理即可证明BC⊥平面PAC；
（2）若三棱锥B-PAC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，根据条件公式求出PA=2，利用二面角的定义作出二面角的平面角即可求锐二面角C-PB-A的余弦值．

解答 证明：（1）∵AB是圆的直径，
∴BC⊥AC，
∵PA垂直⊙O所在的平面，∴PA⊥BC，
∵PA∩AC=A，
∴BC⊥平面PAC
（2）由三视图可知，过CE⊥AB，
则E是AO的中点，
且直径AB=$\frac{1}{2}+\frac{3}{2}=2$，AE=$\frac{1}{2}$，
则CE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
若三棱锥B-PAC的体积为$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{\sqrt{3}}{2}$•PA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
得PA=2，
∵E是AO的中点，CE⊥AB，
∴CE⊥平面PAB，
过E作EF⊥PB于F，连接CF，
则CF⊥PB，
则∠CFE是锐二面角C-PB-A的平面角，
∵PA=AB=2，
∴△PAB是等腰直角三角形，
则∠PBA=45°，
∵BE=$\frac{3}{2}$，∴EF=BEsin45°=$\frac{3}{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{3\sqrt{2}}{4}$．
则CF=$\sqrt{C{E}^{2}+E{F}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{4}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{3}{4}+\frac{18}{16}}$=$\frac{\sqrt{30}}{4}$，
则cos∠CFE=$\frac{EF}{CF}$=$\frac{\frac{3\sqrt{2}}{4}}{\frac{\sqrt{30}}{4}}$=$\frac{\sqrt{15}}{5}$，
即锐二面角C-PB-A的余弦值$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

点评 本题主要考查线面垂直的判定以及三棱锥体积的计算，二面角的求解，根据线面垂直的判定定理以及棱锥的体积求出PA的值是解决本题的关键．