Question

5．在△ABC中，设边a，b，c所对的角为A，B，C，且A，B，C都不是直角，（bc-8）cosA+accosB=a²-b²．
（Ⅰ）若b+c=5，求b，c的值；
（Ⅱ）若$a=\sqrt{5}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知利用余弦定理化简已知等式可得${b^2}+{c^2}-{a^2}-8•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=0$，又△ABC不是直角三角形，解得bc=4，又b+c=5，联立即可解得b，c的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得5=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA=8-8cosA，解得$cosA≥\frac{3}{8}$，可求$sinA≤\frac{{\sqrt{55}}}{8}$，利用三角形面积公式即可得解三角形面积的最大值．

解答 （本题满分14分）
解：（Ⅰ）∵$（bc-8）•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+ac•\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}={a^2}-{b^2}$，
∴$\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2}-8•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}+\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2}={a^2}-{b^2}$，
∴${b^2}+{c^2}-{a^2}-8•\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=0$，
∵△ABC不是直角三角形，
∴bc=4，
又∵b+c=5，
∴解得$\left\{\begin{array}{l}b=1\\ c=4\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}b=4\\ c=1\end{array}\right.$…（7分）
（Ⅱ）∵$a=\sqrt{5}$，由余弦定理可得5=b²+c²-2bccosA≥2bc-2bccosA=8-8cosA，
∴$cosA≥\frac{3}{8}$，
∴$sinA≤\frac{{\sqrt{55}}}{8}$，所以${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}bcsinA≤\frac{{\sqrt{55}}}{4}$．
∴△ABC面积的最大值是$\frac{{\sqrt{55}}}{4}$，当$cosA=\frac{3}{8}$时取到…（14分）

点评 本题主要考查了余弦定理，正弦定理，基本不等式，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，数形结合思想的应用，属于中档题．