Question

已知函数，（提示：）

（1）当时，求曲线在点处的切线方程；

（2）求的单调区间．

Answer 1

（1）；（2）①当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；②当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；③当时，的单调递增区间是；④当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．

【解析】

试题分析：（1）当时，找到切点坐标和切线斜率，进而求得切线方程；（2）根据导函数的函数式。对进行分类讨论，

试题解析：因为

（1）当时，，，

所以且，所以切点为，切线的斜率为，所求切线方程为：化简为：．

（2）根据式进行分类讨论：按分别进行讨论，根据函数的导函数和原函数的单调性的关系分别找到单调区间．

①当时，

所以，在区间上，在区间上，

故的单调递增区间是，单调递减区间是．

②当时，由得 所以，在区间和上，，在区间上

故的单调递增区间是和，单调递减区间是．

③ 当时，恒成立，故的单调递增区间是．

④ 当时，由得

所以，在区间和上，，

在区间上

故的单调递增区间是和，单调递减区间是．

综上所述，①当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；②当时，的单调递增区间是，单调递减区间是；③当时，的单调递增区间是；④当时，的单调递增区间是和，单调递减区间是．

考点：1．利用导函数求切线方程；2．分类讨论思想．