Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x=1对称．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：函数f（x）是周期函数；
（3）若f（x）=x（0＜x≤1），求x∈[-1，1]时，函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数知f（-0）=-f（0），由此可得f（0）的值．
（2）由已知条件可得f（-x）=-f（x），f（2-x）=f（x）．从而得到 f（4+x）=f（-2-x）=-f（2+x）=-f（-x）=f（x），可得函数f（x）为周期函数，周期为4．
（3）由条件可得f（0）=0，则当-1≤x≤1时，f（x）=x，综合可得函数在[-1，1]上的解析式．

解答：解：（1）由f（x）是定义在R上的奇函数知f（-0）=-f（0），可得f（0）=0．
（2）证明：由已知条件对于任意x∈R，都有f（-x）=-f（x），
再由图象关于直线x=1对称，可得f（2-x）=f（x）．
∴f（4+x）=f（-2-x）=-f（2+x）=-f（-x）=f（x），
因此函数f（x）为周期函数，周期为4．
（3）当-1≤x＜0时，f（x）=-f（-x）=x，
f（0）=0，则当-1≤x≤1时，f（x）=x．
综上可得，x∈[-1，1]时，函数f（x）的解析式为f（x）=x．

点评：本题主要考查利用奇偶性求函数的值、求函数的解析式，函数的周期性的定义和证明，属于基础题．