Question

已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间与单调递减区间？
（3）求函数f（x）在闭区间[-2，+2]上的最大值与最小值？

Answer 1

分析：（1）已知函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，即f（1）=-1，f′（1）=0，所以先求导函数，再代入列方程组，即可解得a、b的值
（2）分别解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可得函数f（x）的单调增区间与单调递减区间
（3）由（2）可得函数f（x）在[-2，2]上的单调性，从而求出函数在[-2，2]上的极大值和极小值，最后比较端点值f（-2），f（2）与极值的大小确定函数在[-2，2]上的最大值与最小值

解答：解：（1）∵f′（x）=3x²-6ax+2b，函数f（x）=x³-3ax²+2bx在x=1处有极小值-1，
∴f（1）=-1，f′（1）=0
∴1-3a+2b=-1，3-6a+2b=0
解得a=

1

3

，b=-

1

2

∴f（x）=x³-x²-x
（2）∵f′（x）=3x²-2x-1
∴由f′（x）=3x²-2x-1＞0得x∈(-∞，-

1

3

)∪(1，+∞)
由f′（x）=3x²-2x-1＜0得x∈(-

1

3

，1)
∴函数f（x）的单调增区间为：(-∞，-

1

3

)， (1，+∞)，减区间为：(-

1

3

，1)
（3）由（2）可得函数f（x）在[-2，-

1

3

）上是增函数，在[-

1

3

，1）上是减函数，在[1，2]上是增函数
且f（-2）=-10，f（-

1

3

）=

5

27

，f（1）=-1，f（2）=2
∴函数f（x）在闭区间[-2，+2]上的最大值f（2）=2
最小值为f（-2）=-10

点评：本题考察了导数在求函数极值中的应用，利用导数求函数的单调区间，及利用导数求函数在闭区间上的最值的方法