Question

17．设曲线y=（ax-1）e^x在点A（x₀，y₀）处的切线为l₁，曲线y=（1-x）e^-x在点B（x₀，y₁）处的切线为l₂，若存在x₀∈[0，$\frac{3}{2}$]，使得l₁⊥l₂，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （1，$\frac{3}{2}$）
• D． [1，$\frac{3}{2}$]

Answer 1

分析 根据曲线方程分别求出导函数，把A和B的横坐标x₀分别代入到相应的导函数中求出切线l₁和切线为l₂的斜率，然后根据两条切线互相垂直得斜率乘积为-1，列出关于x0的等式，求出a，对a的函数求得导数，判断为减函数，求出其值域即可得到a的取值范围

解答 解：函数y=（ax-1）e^x的导数为y′=（ax+a-1）e^x，
∴l₁的斜率为k₁=（ax₀+a-1）${e}^{{x}_{0}}$，
函数y=（1-x）e^-x的导数为y′=（x-2）e^-x
∴l₂的斜率为k₂=（x₀-2）${e}^{-{x}_{0}}$，
由题设有k₁•k₂=-1从而有（ax₀+a-1）${e}^{{x}_{0}}$•（x₀-2）${e}^{-{x}_{0}}$=-1，
∴a（x₀²-x₀-2）=x₀-3，
∵x₀∈[0，$\frac{3}{2}$]，得到x₀²-x₀-2≠0，所以a=$\frac{{x}_{0}-3}{{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2}$，
又a′=-$\frac{（{x}_{0}-1）（{x}_{0}-5）}{（{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2）^{2}}$，令导数大于0得，1＜x₀＜5，
故a=$\frac{{x}_{0}-3}{{{x}_{0}}^{2}-{x}_{0}-2}$在（0，1）是减函数，在（1，$\frac{3}{2}$）上是增函数，
x₀=0时取得最大值为$\frac{3}{2}$；x₀=1时取得最小值为1．
∴1≤a≤$\frac{3}{2}$．
故选D．

点评 此题是一道综合题，考查学生会利用导数求切线的斜率，会求函数的值域，掌握两直线垂直时斜率的关系．