Question

5．函数f（x）的定义域为A，若x₁，x₂∈A且f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）=x+1（x∈R）是单函数．下列命题：①函数f（x）=x²-2x（x∈R）是单函数；②函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}\right.$是单函数；③若f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，则f（x₁）≠f（x₂）；④函数f（x）在定义域内某个区间D上具有单调性，则f（x）一定是单函数．其中的真命题是③（写出所有真命题的编号）．

Answer 1

分析 利用单函数的定义，通过举反例能排除选项①②④，通过反证法能得到③正确．

解答 解：对于①：∵f（x）=x²-2x（x∈R），f（0）=f（2），但0≠2，
∴①函数f（x）=x²-2x（x∈R）不是单函数；
对于②：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}\right.$，f（2）=f（1），但f（2）≠f（1），
∴②函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}x，x≥2}\\{2-x，x＜2}\end{array}\right.$不是单函数；
对于③：∵f（x）为单函数，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，
此时若f（x₁）=f（x₂），则由单函数定义必有x₁=x₂，
∴f（x₁）≠f（x₂），故③正确．
对于④，当函数单调时，在单调区间上必有f（x₁）=f（x₂）时总有x₁=x₂，但在其他定义域上，不一定是单函数，
例如：函数f（x）=x²在（0，+∞）上是增函数，而它不是单函数．故④不正确．
故答案为：③．

点评 本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意单函数定义的灵活运用．