Question

7．求单调区间：f（x²）=$\frac{1}{{x}^{2}-2x-3}$．

Answer 1

分析 根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可．

解答 解：设t=x²，
由x²-2x-3≠0得x≠3且x≠-1，
设g（x）=f（x²）=$\frac{1}{{x}^{2}-2x-3}$．
则g′（x）=f′（x²）•2x=$\frac{-（2x-2）}{（{x}^{2}-2x-3）^{2}}•2x$=$\frac{4x-4{x}^{2}}{（{x}^{2}-2x-3）^{2}}$，
由g′（x）＞0得4x-4x²＞0，即x²-x＜0，得0＜x＜1，此时函数单调递增，
由g′（x）＜0得x＞1或x＜0，
∵x≠3且x≠-1，
∴x＜-1或-1＜x＜0或1＜x＜3或x＞3，此时函数单调递减，
即函数的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（-∞，-1），（-1，0），（1，3），（3，+∞）．

点评 本题主要考查函数单调区间的求解，根据复合函数单调性之间的关系是解决本题的关键．