Question

16．设f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，若f（x）=x有唯一解，且f（x₀）=$\frac{1}{1006}$，x_n=f（x_n-1），n=1，2，3，…
（1）判断数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是否是等差数列．
（2）求x₂₀₁₃的值．

Answer 1

分析 （1）由已知得f（x）=$\frac{2x}{x+2}$，从而x_n=f（x_n-1）=$\frac{2{x}_{n-1}}{{x}_{n-1}+2}$，$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，由此能求出数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是首项为1006，公差等于$\frac{1}{2}$的等差数列．
（2）利用等差数列的通项公式求出x₂₀₁₃的值．

解答 解：（1）∵f（x）=$\frac{x}{a（x+2）}$，f（x）=x有唯一解，
∴x=$\frac{x}{a（x+2）}$，解得x=0或x=$\frac{1}{a}$-2，
由题意知$\frac{1}{a}$-2=0，∴a=$\frac{1}{2}$，f（x）=$\frac{2x}{x+2}$，
∴x_n=f（x_n-1）=$\frac{2{x}_{n-1}}{{x}_{n-1}+2}$，
∴$\frac{1}{{x}_{n}}$-$\frac{1}{{x}_{n-1}}$=$\frac{1}{2}$，
又∵x₁=f（x₀）=$\frac{1}{1006}$，∴$\frac{1}{{x}_{1}}$=1006，
∴数列{$\frac{1}{{x}_{n}}$}是首项为1006，公差等于$\frac{1}{2}$的等差数列．
（2）$\frac{1}{{x}_{2013}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+（2013-1）$\frac{1}{2}$=1006+1006=2012，
∴x₂₀₁₁=$\frac{1}{2012}$．

点评 本题考查实数值的求法，等差数列的证明，数列通项公式的求法，证明数列是等差数列是关键．